¿Qué es el infinito? ¿Simplemente lo que no tiene fin? Desde antiguo, las opiniones de los filósofos son controvertidas. Los pitagóricos identificaban infinito con indefinido. Para Platón, el espacio y la materia son ilimitados, pero lo ilimitado es imperfecto por lo que no es eterno; lo que son infinitas son las ideas y entre ellas se encuentra la idea de infinito. Mucho más tarde, Locke dijo que la idea de infinito no prueba el infinito. Y Kant afirmó que el tiempo y el espacio son infinitos. Aquinas señaló que el ser divino debe ser perfectamente infinito, pero que el universo, por imperfecto, debe ser finito. Spinoza le contradijo: el universo es infinito porque Dios mismo es la naturaleza. Para Aristóteles lo ilimitado es una posibilidad, un infinito potencial: el ser finito enumera, luego el infinito real no existe. Heimsoeth puntualiza: «El concepto fundamental de la filosofía es el verdadero infinito, concepto en el cual la realidad absoluta ha encontrado una nueva definición». Además, «la idea de infinito no puede proceder de la experiencia, ni puede ser construida por la imaginación, que conduce a lo indefinido: la idea de infinito es necesariamente a priori».

¿Y qué dicen los matemáticos? Hermann Weyl, discípulo de Hilbert y colega de Einstein, opinaba que «las matemáticas han sido intrépidas e ingenuas para convertir el sistema de los números en un dominio de existencias absolutas fuera de este mundo». Para él y para su maestro «la matemática es la ciencia de lo infinito, y este es accesible al espíritu, a la intuición». Gauss, considerado el mayor matemático de la historia, dice que «infinito es una forma de hablar». Y para J.W.Gibbs «un matemático puede decir lo que le plazca, pero un físico debe ser al menos parcialmente cuerdo». Bertrand Russell ironiza: «Las matemáticas puras pueden definirse como la disciplina en la que nunca sabemos de lo que estamos hablando, ni si lo que estamos diciendo es verdad». Pero Cantor defiende enérgicamente la libertad de los matemáticos para inventar lo que deseen y pide que se hable de matemáticas libres y no de matemáticas puras.

Los números se clasifican en números naturales (o enteros, 1, 2, 3…) y números reales que comprenden a los números racionales (o fracciones, 5/2, 22/7…) y a los irracionales (no enteros, no racionales, ni con terminación repetida, como raíz cuadrada de 2 o el número pi). Según Russell, los números finitos obedecen a la ley de la inducción matemática, es decir, pueden alcanzarse por adiciones de uno; pero el primer número infinito no tiene la propiedad de que exista un número anterior que sumándole uno dé infinito. Así, el primer infinito está más allá de la serie total sin fin de los números finitos. Además, la teoría positiva del infinito no aumenta al agregarle uno o al duplicarlo: ‘no son números’ porque no pueden alcanzarse contando; los finitos, sí.

Con Georg Cantor comenzó la teoría matemática del infinito. Nacido en San Petersburgo en 1845 de padres daneses y muerto en Alemania en 1918, fue discípulo de Kronecker en su tesis doctoral y fundó, junto a su amigo Dedekind, la teoría de conjuntos. Para Cantor, los números naturales son infinitos por definición. Demostró que los números racionales, aunque infinitos, son enumerables porque pueden ser colocados en correspondencia biunívoca (uno a uno) con los números naturales. Asimismo, demostró que el conjunto de los números reales es infinito y no enumerable. Además, con el método de la diagonal demostró que hay infinitos conjuntos que no pueden ser enumerados; no existe una enumeración de todos los números reales en un intervalo dado. Por lo tanto, hay un número infinito de conjuntos infinitos diferentes a los que se puede aplicar el concepto de mayor y menor: ‘hay grados de infinitud’. Desde los cuarenta años hasta su muerte, Cantor tuvo que ser internado en un manicomio intermitentemente. Durante este periodo ya no pudo avanzar en sus teorías.

El que sí estuvo lúcido hasta su muerte fue Bertrand Russell, quien en su extensa obra ‘Los principios de la Matemática’ dejó dicho que el problema del infinito matemático es de orden: los cardinales transfinitos están bien ordenados, son tales que cada uno de ellos, excepto el último, si existe, tiene un inmediato sucesor; tampoco existe un número finito último que sea predecesor del menor de los transfinitos. E ironiza: «las unidades infinitas, aunque sí son lógicamente posibles, no aparecen nunca en algo accesible al entendimiento humano».

Pero, ¿está el infinito ahí afuera?